トップ «前の日記(2004年10月18日) 最新 次の日記(2004年10月20日)» 編集
2003|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|
2004|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|
2005|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|
2006|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|
2007|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|
2008|01|02|03|04|05|06|07|08|10|12|
2009|02|03|06|07|10|11|12|
2010|01|02|03|04|07|09|10|11|12|
2011|01|03|04|05|06|07|08|10|
2012|01|06|08|09|10|12|
2013|01|02|03|04|07|09|11|12|
2014|01|03|04|05|06|09|
2015|04|
2016|01|08|
ここは旧えびめもです。えびめも2に移行します(2016/12/1)

2004年10月19日

物理知ったかぶり

円周率πは、3.141592...と無限に続く数字だ。πと同じように、eというのは2.718281828459...と無限に続く数字で、"自然対数"の"底"と呼ばれる。eの定義は

である。すなわち、

としてnをどんどん大きくした値である。これが約2.71に収束することは古くから知られていた。手元に電卓があれば計算してみればわかるのだが、
n
12
102.59374
1002.70481
1,0002.71692
10,0002.71815
100,0002.71827
といった具合に、nを大きくして計算すると、どんどん2.718281828459....に近づいていく。なぜにeに対して"自然"という言葉がついているかというと、たとえば世界人口の増加を
(A=速度係数、t=時間)
として模擬できてしまったりするからである。
別な例では、風呂の栓を抜いて水が抜けていくときの風呂の残り湯の量を
(A=速度係数、t=時間)
として大雑把に求めることができたりする。
さらにはeを用いた螺旋の式

によってオーム貝の螺旋模様や動物の角の成長、果ては銀河の渦巻きまで計算できるというから驚きだ。上記式をエクセルを用いて(r,θ)の極座標にプロットするとこのようになる。

世の中の自然なことはeを使うと比較的うまく説明できるので自然対数の底と呼ばれる由縁である。

ところで円周率πは3.141592...と無限に続く数字である。小学校のころに習ったように円周=直径*πである。すなわちπは

円周と直径の比
という至極簡単な数字だ。これが3.141592...と無限に続き、割り切ることができないというのも自然の不思議さだろう。

もうひとつおまけに、虚数単位 iという定義がある。これは

という、『自乗すると-1になる』という、人をなめたような値だ。もちろん こんな数字は世の中に存在しない。したがって虚数と呼ばれる想像上の数字だ。iはimaginary (イメージ)のiだ(物理の世界ではiだと電流と間違えやすいのでiではなくjを用いるので、ここでもjと記する)。

そして、今までできた、e,π,jの3大御所が組み合わさると、なんと

となるのだ。これが有名な『オイラーの公式』で、『宇宙で最も美しい式』といわれる。
円周率π(3.141592..)、自然対数の底e(2.71828...)、そして人工のjという、それぞれ出身地のまるで異なる宇宙の定数が、最もシンプルで単純な公式で出会う。おいらは、はじめてこの式を見せられとき(そして今でも)一番美しいというより、最も無気味な式だと思っている。正直言って怖い。
ちなみに、eはレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)の頭文字である。上記の公式は1748年に発見された。
(引用;ほとんど教科書に書いてあるまま)

消費電流測定

昨日の実験の続き。昨日の実験の結果得られたC=0.16Fの個体を用いて、コイン電池で動作する某センサーの消費電流を測定する。

C=0.16Fのキャパシタを満充電状態として、某センサーの電源として接続し、電圧の低下を計測する。今度はテスターへの入力電流の影響も考慮し、測定中以外はテスターのプローブをはずすことにする。

Vo=3.00Vから計測を開始し、4時間40分(16,800秒)経過時点で2.068Vに低下した。ここら辺がブラウンアウト・リセット電圧であるから、実験終了とした。
回路系を単純なRとみなして、みなし抵抗を計算すると、昨日の式(2)を単純に変形して
R=-t/(C*log(V/Vo))
t=16,800, C=0.16, Vo=3.00, V=2.068
となり、みなしR=約282KΩと求まる。すると消費電流は
I=E/R
 =3.0/282K
 =10.63μA
と求まる。(E=3.0固定としているので悪いほうで計算)
CR2032コイン電池の容量は 220mAH 程度として、
t(hour) = 220/0.01063
        = 20696.14時間
t(日)   = 862日
t(年)   = 2.36年
となった。したがって某センサーの電池寿命は2.36年と予想される。
実際には周囲条件に左右されるので電池寿命は1年としておく。
実験終了